سوال ۱

نوید و سعید مشغول بازی «سنگ٬ کاغذ٬ قیچی» هستند. در هر دست از این بازی دو نفره٬ دو بازیکن دستشان را به پشت سر خود برده و سپس دست خود را به‌یکی از سه شکل سنگ٬ کاغذ یا قیچی به دیگران نشان می‌دهند. سنگ قیچی را می‌برد و به کاغذ می‌بازد٬ کاغذ سنگ را می‌برد و به قیچی می‌بازد٬ و قیچی کاغذ را برده و به سنگ می‌بازد. در صورتی که هر دو بازیکن یک شکل یکسان را انتخاب کرده باشند٬ آن دست مساوی اعلام می‌شود.

در این بازی برنده‌ی هر دست ۱ امتیاز و بازنده ۰ امتیاز می‌گیرد. در صورت تساوی نیز هر دو طرف صفر امتیاز خواهند گرفت. برنده بازی کسی خواهد بود که مجموع امتیازش زودتر از دیگری به عدد ۳ برسد.

تعداد حالت هایی از بازی که نوید در انتهای دست هفتم برنده‌ی بازی شود چند است؟

$۵۶۰\times ۳^۷$
$۱۶۵\times ۳^۷$
$۲۴۰\times ۷^۳$
$۳۸۵\times ۷^۳$
$۳۳۰\times ۷^۳$

پاسخ

گزینه‌ی «۲» درست است.

هر یک از حالات برد ، باخت و تساوی نوید 3 حالت دارد (برای مثال برای برد سنگ- قیچی ، قیچی- کاغذ و کاغذ- سنگ حالات مختلفند) . از طرفی می‌دانیم نوید حتما بازی هفتم را برده است و در شش بازی اول دقیقا دو بازی را نوید و حداکثر دو بازی را سعید برده است ( اگر بیش‌تر از دو بازی را سعید ببرد ، نوید در کل بازنده خواهد بود) . برای محاسبه حالت بندی میکنیم :

تعداد حالاتی که در 6 بازی اول نوید 2برد و 4 تساوی داشته باشد برابر است با : $\binom{6}{2}×3^7$
تعداد حالاتی که در6 بازی اول نوید 2 برد،3 تساوی و 1 باخت داشته باشد برابر است با:$\binom{6}{3}×\binom{3}{1}×3^7$
تعداد حالاتی که در6 بازی اول نوید 2 برد ، 2 تساوی و 2 باخت داشته باشد برابر است با : $\binom{6}{2}×\binom{4}{2}×3^7$

پس در کل $165×3^7$حالت داریم .