گاهی جایگشت‌هایی داریم که عناصر آن‌ها همگی متمایز نیستند. در این صفحه، چنین جایگشت‌هایی را بررسی می‌کنیم.

فرض کنید ۴ توپ قرمز، ۳ توپ آبی و ۲ توپ سبز داریم و می‌خواهیم این توپ‌ها را در یک ردیف بچینیم. توجه کنید توپ‌های هم‌رنگ، یک‌سان هستند و تمایزی ندارند. تعداد روش‌های این کار قطعن $9!$ نیست زیرا برخی از اشیاء ما متمایز نیستند و حق نداریم با فرمول جای‌گشت‌های خطی مسئله را حل کنیم. پس باید به دنبال راه حل دیگری باشیم.

ما ۹ جایگاه داریم که در آن‌ها می‌تواند توپ قرار بگیرد. باید ابتدا ۴ جایگشت برای توپ‌های قرمز، سپس ۳ جایگاه از ۵ جایگاه باقی‌مانده برای توپ‌های آبی و در انتها ۲ جایگاه از ۲ جایگاه باقی‌مانده برای توپ‌های سبز انتخاب کنیم. پس طبق فرمول ترکیب‌ها و اصل ضرب پاسخ برابر $$\binom{9}{4}\binom{5}{3}\binom{2}{2}=\frac{9!}{4!5!}\frac{5!}{3!2!}\frac{2!}{2!0!}$$ $$=\frac{9!}{4!3!2!}$$ خواهد بود. در ادامه فرمولی کلی برای جایگشت باتکرار پیدا می‌کنیم.

فرض کنید $k$ نوع شیء داریم که از نوع $i$-ام، $a_i$ شیء موجود است. می‌خواهیم تعداد جایگشت‌های این اشیاء را بیابیم. همانند مثال قبل، پاسخ برابر است با: $$\binom{a_1+a_2+…+a_k}{a_1}\binom{a_2+a_2+…+a_k}{a_2}…\binom{a_k}{a_k}$$ $$=\frac{(a_1+a_2+…+a_k)!}{a_1!(a_2+a_3+…+a_k)!}\frac{(a_2+a_3+…+a_k)!}{a_2!(a_3+a_4+…+a_k)!}…\frac{a_k!}{a_k!0!}$$ پس پاسخ برابر است با: $$ \frac{(a_1+a_2+…+a_k)!}{a_1!a_2!…a_k!} $$ اگر فرض کنیم $n=a_1+a_2+…+a_k$، پاسخ برابر $\frac{n!}{a_1!a_2!…a_k!}$ خواهد بود.

جایگشت با تکرار را با $\binom{n}{a_1, a_2, …, a_k}$ نیز نشان می‌دهند.

مثال:

1. چند جایگشت از کلمه‌ی combination وجود دارد؟
2. در چند جایگشت آن حرف t بعد از یکی از حروف n می‌آید؟
3. در چند جایگشت آن، هیچ دو حرف صداداری، مجاور نیستند؟