اگر بخواهیم با اصل جمع و حالت‌بندی مسئله را حل کنیم، حالت‌بندی ما بسیار سخت و طولانی خواهد شد. بنابراین بهتر است روشی دیگر انتخاب کنیم.

ابتدا با اصل ضرب، تعداد اعداد ۴ رقمی که رقم تکراری ندارند را می‌شماریم. رقم سمت چپ، ۹ حالت دارد (۰ نمی‌تواند باشد). رقم بعدی ۹ حالت دارد (برابر رقم اول نمی‌تواند باشد). به همین ترتیب ۲ رقم دیگر به ترتیب ۸ و ۷ حالت دارند. پس در کل $9\times 9\times 8\times 7$ عدد ۴ رقمی وجود دارند که رقم تکراری نداشته باشند. از طرفی می‌دانیم تعداد کل اعداد ۴ رقمی، ۹۰۰۰ تاست. پس پاسخ برابر $9000-9\times 9\times 8\times 7$ است.

شاید در نگاه اول بگوییم پاسخ $b-a$ است، اما این طور نیست. مجموعه‌های $M=\{1,2,\dots ,b\}$ و $A=\{1,2,\dots ,a-1\}$ را در نظر بگیرید. طبق اصل متمم، پاسخ برابر $|M|-|A|=b-a+1$ است.

تعداد کل زیرمجموعه‌های مجموعه، طبق بخش‌های قبل، $2^{2n}$ است. از طرفی تعداد زیرمجموعه‌هایی که عدد زوج ندارند، $2^n$ تاست (هر عدد فرد به ۲ حالت می‌تواند در زیرمجموعه باشد یا نباشد و اعداد زوج هم به ۱ حالت نباید در زیرمجموعه باشند). پس طبق اصل متمم، پاسخ برابر $2^{2n}-2^n$ است.

ابتدا تعداد مقسوم‌علیه‌های مثبت عدد $n$ را می‌شماریم که بر $m$ بخش‌پذیر هستند. برای این کار، همان روشی را در نظر می‌گیریم که در اصل ضرب به کار گرفتیم. توان عامل $p_i$ در چنین مقسوم‌علیهی، باید بیش‌تر مساوی $b_i$ و کم‌تر مساوی $a_i$ باشد؛ پس $a_i-b_i+1$ حالت دارد. پس تعداد این مقسوم‌علیه‌ها، $$(a_1-b_1+1)(a_2-b_2+1)\dots (a_k-b_k+1)=\prod _{i=1}^k(a_i-b_i+1)$$ است.

از طرفی طبق بخش‌های قبل، تعداد کل مقسوم‌علیه‌های مثبت عدد $n$ برابر $$(p_1+1)(p_2+1)\dots (p_k+1)=\prod _{i=1}^k(a_i+1)$$ است.

پس طبق اصل متمم، پاسخ برابر $$\prod _{i=1}^k(a_i+1)-\prod _{i=1}^k(a_i-b_i+1)$$ است.