سوال ۱۹
از دو عدد دودویی $A$ و $B$، عدد دودویی $C=A\oplus B$ را به این صورت به‌دست می‌آوریم: اگر رقم‌های $i$ام $A$ و $B$ یکسان باشند، رقم $i$ام $C$ برابر صفر و در غیر این صورت برابر ۱ است (در سمت چپ هر عدد به اندازه‌ی کافی می‌توان رقم صفر اضافه کرد). مثلاً $00100\oplus 110=00010$. حال بر روی عدد دودویی $x$ عمل زیر را انجام می‌دهیم: $x$ را به دو قسمت دل‌خواه $x_1$ و $x_2$ تقسیم می‌کنیم و $x$ را برابر $x_1\oplus x_2$ قرار می‌دهیم. مثلاً اگر $x=11000100$، بر اساس یک حالت از تقسیم $x$ داریم: $x_1=110$ و $x_2=00100$. یک عدد دودویی را «جالب» می‌گوییم اگر بتوان با تکرار عمل بالا آن را به ۱ تبدیل کرد. چند عدد دودویی به طول ۱۰ «جالب» است؟ (رقم‌های سمت چپ یک عدد دودویی می‌تواند صفر باشد.)
- ۳۲
- ۱۰۲۴
- ۵۱۱
- ۱۰۲۳
- ۵۱۲
پاسخ
گزینه (۵) درست است.
شرط لازم و کافی برای آن که به عدد ۱ برسیم آن است که تعداد ۱های عدد اولیه فرد باشد که تعداد این اعداد برابر با $\binom{10}{1}+\binom{10}{3}+…+\binom{10}{9}$؛ یعنی $2^9$ می‌باشد.
| ▸ سوال قبل | سوال بعد ◂ |