مفاهیم پایه‌ای احتمال

در بسیاری از مسائل شمارشی، هدف بدست آوردن تعداد اعضای مجموعه‌ای معین است. در واقع هیچ شانسی برای انتخاب اعضا قائل نیستیم. ولی اگر اطلاعاتی از مسئله از دید ما مخفی باشد، تنها می‌توانیم با شانس درباره‌ی تعداد آن صحبت کنیم.

شانس از ابتدای تاریخ بشریت پدیده‌ای آشنا بوده. پیشگویی و میل به دانستن رویدادهای آینده بهترین گواه بر این مدعا است. شواهدی از قماربازی و 5500 سال گذشته و وجود تاس در مصر وجود دارد که نشان می‌دهد برای انجام بعضی امور با شانس تصمیم‌گیری می‌شده است.

پاسکال و فرما از اولین کسانی بودند که به احتمال با دید ریاضی نگریستند و مدل‌هایی منطقی برای بدست آوردن شانس بعضی رویدادها ارائه کردند.

احتمالات، شانس وقوع یک حادثه را بررسی می‌کند. ما از احتمالات به عنوان ابزاری استفاده می‌کنیم تا به سوالاتی از جنس "چقدر مطمئن هستی که آسمان ابری باشد؟" پاسخ دهیم.

فضای حالت

در مسائل مورد بررسی در احتمال معمولا مجموعه‌ای به نام فضای حالت وجود دارد. فضای حالت مجموعه‌ی حالت‌هایی است که امکان وقوع دارند. در مثالمان، دو حالت برای آسمان وجود دارد، آسمان آفتابی و آسمان ابری.

حالت مطلوب

بعضی از این حالات، مورد نظر مسئله هستند. یعنی می‌خواهیم احتمال وقوع آن‌ها را بدست بیاوریم که حالات مطلوب نام دارند. در مثال بالا آسمان ابری حالت مطلوب مسئله است. اگر اطلاعات دیگری درباره‌ی آب و هوا نداشته باشیم احتمال ابری و آفتابی بودن هوا با هم برابر اند. پس در اینصورت می‌گوییم به احتمال $\frac{1}{2}$ آسمان ابری است.

در حالت کلی نیز اگر اطلاعات اضافه‌تری داده نشود، احتمال وقوع هر عضو از فضای حالت با یکدیگر برابر است. پس اگر فضای حالت $n$ عضوی باشد، احتمال وقوع هر حالت برابر $\frac{1}{n}$ است. در نتیجه اگر تعداد حالات مطلوب $k$ تا باشد، جواب مسئله $\frac{k}{n}$ می‌شود.

چند مثال

با حل چند مسئله این مفاهیم واضح‌تر می‌شوند:

مثال: در پرتاب یک تاس، احتمال اینکه عدد روی تاس زوج باشد چقدر است؟

پاسخ

برای بدست آوردن پاسخ، باید اندازه‌ی فضای حالت و حالات مطلوب را بدست بیاوریم.

فضای حالت: تاس همواره عددی بین 1 تا 6 را تولید می‌کند. در نتیجه فضای حالت 6 عضو دارد.

حالات مطلوب: چون عدد روی تاس باید زوج باشد، اعداد 2، 4 و 6 حالات مطلوب هستند. پس جواب مسئله برابر است با: $\frac{3}{6}$

مثال: سکه‌ای در هر پرتاب با احتمال برابر "شیر" یا "خط" می‌آید. احتمال اینکه در 10 بار پرتاب سکه، دقیقا 3 بار خط بیاید چقدر است؟

پاسخ

همانند مثال قبل فضای حالت و حالات مطلوب را بدست می‌آوریم.

در هر پرتاب 2 حالت وجود دارد، در نتیجه پس از 10 پرتاب $2^{10}$ حالت ممکن خواهد بود که احتمال وقوع آن‌ها یکسان و برابر با $\frac{1}{2^{10}}$ است. برای یافتن حالات مطلوب، کافی است حالاتی را بیابیم که 3 بار خط آمده باشد.

همانطور که در بخش ترکیب خواندیم، تعداد حالت‌های ممکن برای اینکار برابر است با $\frac{10!}{7! \times 3!} = 120$ . پس پاسخ مسئله برابر $\frac{120}{1024}$ می‌شود.

مثال: کیکی را به 10 قسمت مساوی تقسیم کرده‌اند. در هر مرحله‌یک تاس را پرتاب می‌کنیم اگر عدد روی تاس 6 باشد کیک از آن ما خواهد شد ولی در غیر اینصورت یکی از قسمت‌های کیک خورده می‌شود. احتمال اینکه دقیقا 5 قسمت از کیک به ما برسد چقدر است؟

پاسخ

ابتدا باید بررسی کنیم که در چه صورتی دقیقا 5 قسمت از کیک از آن ما می‌شود.

برای رسیدن به این هدف، باید در چهار پرتاب اول عدد روی تاس 6 نشود و در پرتاب پنجم تاس 6 بیاید.

احتمال اینکه در یک پرتاب 6 نیاید $\frac{5}{6}$ است. در نتیجه احتمالی که در مسئله می‌خواهیم برابر می‌شود با $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5^{4}}{6^{5}}$

مسائل نمونه

سوال 15 مرحله اول دوره 11
سوال 34 مرحله اول دوره 11
سوال 38 مرحله اول دوره 11

اُپدیا

دانش‌نامه‌ی المپیاد کامپیوتر ایران

ابزار کاربر

مفاهیم پایه‌ای احتمال

فضای حالت

حالت مطلوب

چند مثال

مسائل نمونه

ابزار صفحه

ابزار کاربر

مفاهیم پایه‌ای احتمال

فضای حالت

حالت مطلوب

چند مثال

مسائل نمونه